Question

【題目】一裝有水的直三棱柱容器（厚度忽略不計(jì)），上下底面均為邊長(zhǎng)為5的正三角形，側(cè)棱為10，側(cè)面水平放置，如圖所示，點(diǎn)， ， ， 分別在棱， ， ， 上，水面恰好過(guò)點(diǎn)， ， ， ，且．

（1）證明： ；

（2）若底面水平放置時(shí)，求水面的高．

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)

【解析】試題分析：（1）直三棱柱容器側(cè)面水平放置，所以平面平面，由面面平行性質(zhì)得．（2）當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，水的形狀為四棱柱形，由已知條件求出水的體積，由于是三棱柱形容器，故水的體積可以用三角形的面積直接表示出，不必求三角形的面積．

（1）證明：因?yàn)橹比�棱柱容器�?cè)面水平放置，

所以平面平面，

因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，

所以．

（2）解；當(dāng)側(cè)面水平放置時(shí)，可知液體部分是直四棱柱，

其高即為直三棱柱容器的高，即側(cè)棱長(zhǎng)10.

由（I）可得，又，

所以.

當(dāng)?shù)酌?/span>水平放置時(shí)，設(shè)水面的高為，由于兩種狀態(tài)下水的體積相等，

所以，即，

解得.