Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1  (a＞b＞0)的離心率為

6

3

，短軸一個端點到右焦點的距離為

3

．
（1）求橢圓C的方程．
（2）設直線l：y=kx+m與橢圓C交于A、B兩點，坐標原點O到直線l的距離為

3

2

，且△AOB的面積為

3

2

，求：實數(shù)k的值．

Answer 1

分析：（1）因為橢圓離心率為e=

c

a

=

6

3

，又因為短軸一個端點到右焦點的距離為a=

3

，故c=

2

，從而b²=a²-c²=1，橢圓C的方程為

x2

3

+y2=1．
（2）先由原點O到直線l的距離為

3

2

，得等式m2=

3

4

(k2+1)，再將直線l與橢圓聯(lián)立，利用韋達定理和△AOB的面積為

3

2

，得等式

12(k2+1)(3k2+1-m2)

(3k2+1)2

•

3

16

=

3

4

，最后將兩等式聯(lián)立解方程即可得k值

解答：解：（1）設橢圓的半焦距為c，依題意

c a = 6 3 a= 3

，
∴b=1，∴所求橢圓方程為

x2

3

+y2=1．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由已知

|m|

1+k2

=

3

2

，得m2=

3

4

(k2+1)．
又由

y=kx+m x2 3 +y2=1

，消去y得：
（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，∴x1+x2=

-6km

3k2+1

，x1x2=

3(m2-1)

3k2+1

．
∴|AB|²=（1+k²）（x₂-x₁）²=(1+k2)[

36k2m2

(3k2+1)2

-

12(m2-1)

3k2+1

]
=

12(k2+1)(3k2+1-m2)

(3k2+1)2

=

3(k2+1)(9k2+1)

(3k2+1)2

又S2△AOB=(

1

2

×|AB|×

3

2

)2=

3

16

×

3(k2+1)(9k2+1)

(3k2+1)2

=

3

4

，
化簡得：9k⁴-6k²+1=0
解得：k=±

3

3

點評：本題考察了橢圓的標準方程，直線與橢圓相交的性質(zhì)，解題時要特別注意韋達定理在解題中的重要應用，巧妙地運用設而不求的解題思想提高解題效率．