Question

已知定圓M：（x+1）²+y²=16，動圓N過點D（1，0），且和圓M相切，記動圓的圓心N的軌跡為C．
（Ⅰ）求曲線C的軌跡方程；
（Ⅱ）已知圓O：x²+y²=3在y軸右邊部分上有一點P，過點P作該圓的切線l：y=kx+m，且直線l交曲線C于A、B兩點，求△ABD的周長．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）利用動圓P與定圓（x-1）²+y²=16相內切，以及橢圓的定義，可得動圓圓心P的軌跡M的方程；
（Ⅱ）由

|m|

1+k2

=

3

，即|m|=

3

•

1+k2

．聯(lián)立直線與橢圓方程，消去y，利用韋達定理，求出△ABD的三條邊，即可求△ABD的周長．

解答： 解：（Ⅰ）定圓M的圓心M（-1，0），半徑r₁=4，設動圓N的圓心為N（x，y），半徑為r₂，點D在圓M內，
從而與圓N內切，故|MN|=r₁-r₂=4-|ND|．
所以|MN|+|ND|=4＞|MD|-2，故點N的軌跡是以M、D為焦點的橢圓…（2分）
設其方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由2a=4，2c=2，c²=a²-b²．
解得a²=4，b²=3，則橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1…（5分）
（Ⅱ）因為切線l：y=kx+m是圓O在y軸右邊部分上的一點的切線．
所以k＜0，m＞0或k＞0，m＜0，由

|m|

1+k2

=

3

，即|m|=

3

•

1+k2

．
聯(lián)立直線與橢圓方程，消去y，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

-8km

4k2+3

；x₁•x₂=

4m2-12

4k2+3

．
所以|AB|=

1-k2

|x1-x2|=

1+k2

(x1+ x   2 )2-4x1x2

=

1+k2

(- 8km 3+4k2 )2-4• 4m2-12 3+4k2

=

1+k2

12×4(4k2-m2+3) (3-4k2)2

-

|m| 3 ×4 3 |k|

3+4k2

-

4|km|

3+4k2

由于k＜0，m＞0或k＞0，m＜0，故|AB|=

-4km

3+4k2

…（9分）
又AD2=(x1 +1)2+y12=(x1+1)2+3(1-

x12

4

)=

1

4

(x1-1)2，
所以|AD|=2-

1

2

x1，同理|BD|=

1

2

(4-x2)=2-

1

2

x2，
所以|AD|+|BD|=4-

1

2

(x1+x2)=4+

4km

3+4k2

，
所以|AD|+|BD|+|AB|=4-

1

2

(x1+x2)=4+

4km

3+4k2

-

4km

3+4k2

=4．
綜上所述：△ABD的周長為4…（13分）

點評：本題考查圓的基本知識和軌跡方程的求法以及斜率的求法，解題時要注意公式的靈活運用，此題有一定難度．