Question

在數(shù)列{a_n}中，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和s_n；
（3）令，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n，求證：．

Answer 1

解：（1）∵
∴a_n+1+2•2ⁿ⁺¹=3（a_n+2×2ⁿ），
∵a₁+2•2¹=9
∴{a_n+2ⁿ⁺¹}是等比數(shù)列，公比為3，
∴a_n+2ⁿ⁺¹=3ⁿ⁺¹，
∴a_n=3ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹．
（2）∵a_n=3ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹，
∴==（2n+1），
∴S_n=
，
∴
=-（2n+1）
=
=．
∴S_n=．
（3）∵a_n=3ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹，
∴=
=＞，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n
＞++…+
=-×
=＞．
∴．
分析：（1）由，知a_n+1+2•2ⁿ⁺¹=3（a_n+2×2ⁿ），由此利用構(gòu)造法能求出a_n．
（2）由a_n=3ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹，知==（2n+1），故S_n=，由此利用錯(cuò)位相減法能夠求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．
（3）由a_n=3ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹，知==＞，由此利用放縮法能夠證明．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，利用放縮法證明不等式．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意轉(zhuǎn)化化歸思想的合理運(yùn)用．