Question

已知直線l過點M（4，0）且與拋物線y²=2px（p＞0）交于A、B兩點，以弦AB為直徑的圓恒過坐標原點O．
（Ⅰ）求拋物線的標準方程；
（Ⅱ）設(shè)Q是直線x=-4上任意一點，求證：直線QA、QM、QB的斜率依次成等差數(shù)列．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設(shè)直線l方程為x=ky+4，代入y2 =2px，得y²-2kpy-8p=0，由此利用韋達定理、向量的數(shù)量積結(jié)合已知條件能求出拋物線方程．
（Ⅱ）設(shè)Q（-4，t）由（Ⅰ）知y₁+y₂=4k，y₁y₂=-16，由此能推導(dǎo)出K_QA+K_QB=

4(y1-t)

y 2 1 +16

+

4(y2-t)

y 2 2 +16

=-

t

4

=2K_QM，從而得到直線QA、QP、QB的斜率依次成等差數(shù)列．

解答： （Ⅰ）解：∵直線l過點M（4，0），
∴設(shè)直線l方程為x=ky+4，
代入y2 =2px，得y²-2kpy-8p=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁+y₂=2kp，y1 y2 =-8p，…（2分）^^ 
∵

OA

•

OB

=0，
∴0=x₁x₂+y₁y₂=（ky₁+4）（ky₂+4）-8p
=k²y₁y₂+4k（y₁+y₂）+16-8p，
即0=-8k²p+8k²p+16-8p，解得p=2，
∴拋物線方程為y²=4x．…（6分）
（Ⅱ）證明：設(shè)Q（-4，t）由（Ⅰ）知y₁+y₂=4k，y₁y₂=-16，
∴

y

2 1

+

y

2 2

=(y1+y2)2-2y1y2=16k²+32，
∵KQA=

y1-t

x1+4

=

y1-t

y 2 1 4 +4

=

4(y1-t)

y 2 1 +16

，
KQB=

y2-t

x2+4

=

y2-t

y 2 2 4 +4

=

4(y2-t)

y 2 2 +16

，KQM=

t

-8

…（9分）
K_QA+K_QB=

4(y1-t)

y 2 1 +16

+

4(y2-t)

y 2 2 +16

=4×

(y1-t)( y 2 2 +16)+(y2-t)( y 2 1 +16)

( y 2 1 +16)( y 2 2 +16)

=4×

y1 y 2 2 +16y1-t y 2 2 -16t+y2 y 2 1 +16y2-t y 2 1 -16t

y 2 1 y 2 2 +16( y 2 1 + y 2 2 )+16×16

=

-t( y 2 1 + y 2 2 )-32t

8×16+4( y 2 1 + y 2 2 )

=

-t(16k2+32)-32t

8×16+4(16k2+32)

=-

t

4

=2K_QM…（12分）
即直線QA、QP、QB的斜率依次成等差數(shù)列．…（13分）

點評：本題考查拋物線方程的求法，考查直線QA、QM、QB的斜率依次成等差數(shù)列的證明，解題時要認真審題，注意向量知識的靈活運用．