Question

如圖，邊長為2的等邊三角形PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，，M為BC的中點。

（1）證明：AM⊥PM；
（2）求二面角P-AM-D的大小；
（3）求點D到平面AMP的距離。

Answer 1

解：（1）取CD的中點E，連接PE、EM、EA
因為△PCD為正三角形，
所以PE⊥CD
因為平面PCD⊥平面ABCD，
所以PE⊥平面ABCD，
所以AM⊥PE
因為四邊形ABCD是矩形，
所以△ADE、△ECM、△ABM均為直角三角形
由勾股定理可求得
，AE=3
所以EM²+AM²=AE²，
所以AM⊥EM
又PE∩EM=E，
所以AM⊥平面PEM
所以AM⊥PM。
（2）由（1）可知EM⊥AM，PM⊥AM，
所以∠PME是二面角P-AM-D的平面角
所以
所以∠PME=45°
所以二面角P-AM-D的大小為45°。
（3）設(shè)D點到平面PAM的距離為d，連接DM，
則V_P-ADM= V_D-PAM，
所以
而
在Rt△PEM中，由勾股定理可求得，
所以S_△PAM=
所以
所以
即點D到平面AMP的距離為。