Question

過(guò)點(diǎn)C（4，0）的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)

x2

4

-

y2

12

=1的右支交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，則直線(xiàn)AB的斜率k的取值范圍是（　�。�

• A．|k|≥1
• B．|k|＞

  3

• C．|k|≤

  3

• D．|k|＜1

Answer 1

分析：根據(jù)題意，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=k（x-4），與雙曲線(xiàn)消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系與根的判別式建立關(guān)于k的不等式組，解之即可得到k的取值范圍．

解答：解：設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），直線(xiàn)AB的方程為y=k（x-4），
由

y=k(x-4) x2 4 - y2 12 =1

消去y，得（3-k²）x²+8k²x-16k²-12=0．
∴x₁+x₂=-

8k2

3-k2

，x₁+x₂=

-16k2-12

3-k2

．
∵直線(xiàn)AB與拋物線(xiàn)的右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
∴

△=64k4-4(3-k2)(-16k2-12)＞0 x1+x2=- 8k2 3-k2 ＞0 x 1x2= -16k2-12 3-k2 ＞0

，化簡(jiǎn)此不等式組可得k²＞3，即|k|＞

3

．
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題已知經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)右支交于不同的兩點(diǎn)，求直線(xiàn)斜率的取值范圍．著重考查了雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)、直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．