Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是矩形，側(cè)棱底面，且，過棱的中點(diǎn)，作交于點(diǎn).

（1）證明：平面；

（2）若面與面所成二面角的大小為，求與面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）連接交于，則是的中點(diǎn)，連接，證明，平面即得證；（2）如圖以為原點(diǎn)，方向分別為軸，軸，軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，根據(jù)面與面所成二面角的大小為求出，再求出與面所成角的正弦值．

（1）證明：連接交于，則是的中點(diǎn)，連接，

則是的中位線，所以，

有因?yàn)?/span>，

所以平面.

（2）如圖以為原點(diǎn)，方向分別為軸，軸，軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則

，，，，，

，設(shè)，則，

又，即，解得 ①

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則

即，方程的一組解為 ,

顯然是面的一個(gè)法向量，依題意有

，得，

結(jié)合①式得 .

因?yàn)?/span>底面，所以是與面所成的角，

所以 .