Question

如圖，斜率為1的直線過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，與拋物線交于兩點(diǎn)A、B，將直線AB按向量平移得到直線l，N為l上的動點(diǎn)，M為拋物線弧AB上的動點(diǎn)．
（Ⅰ） 若|AB|=8，求拋物線方程．
（Ⅱ）求S_△ABM的最大值．
（Ⅲ）求的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用韋達(dá)定理及拋物線的定義，計(jì)算弦長，即可求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知|AB|=4p，故求S_△ABM的最大值，即求M到AB距離的最大值；
（Ⅲ）利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合配方法，即可求的最小值．
解答：解：（Ⅰ）由條件知，則，消去x得：①，則x₁+x₂=3p，
由拋物線定義|AB|=x₁+x₂+p=4p，
又因?yàn)閨AB|=8，即p=2，則拋物線方程為y²=4x．---------------------------（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知|AB|=4p和，設(shè)，
則M到AB距離：，因M，O在直線AB的同側(cè)，所以，
則，即，
由①知
所以，則當(dāng)y=p時(shí)，，
則．---------------------------------------（8分）
（Ⅲ）設(shè)，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則，，
即
由①知x₁+x₂=3p，，，y₁+y₂=2p，則，
即，當(dāng)x=p時(shí)，的最小值為．
（其它方法酌情給分）---------------------------------------------------（12分）
點(diǎn)評：本題考查拋物線的弦長計(jì)算，考查三角形面積，考查向量知識，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用拋物線的定義，屬于中檔題．