Question

【題目】過橢圓W:的左焦點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，其中 ，另一條過的直線交橢圓于兩點(diǎn)（不與重合），且點(diǎn)不與點(diǎn)重合.過作軸的垂線分別交直線，于,.

（Ⅰ）求點(diǎn)坐標(biāo)和直線的方程；

（Ⅱ）求證：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），的方程為；（Ⅱ）詳見解析.

【解析】

（Ⅰ）由題意可得直線的方程為.與橢圓方程聯(lián)立方程組，即可求解B點(diǎn)坐標(biāo)；

（Ⅱ）設(shè)，，的方程為，聯(lián)立方程組，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，求得，，進(jìn)而得出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，化簡即可證得，得到證明.

（Ⅰ）由題意可得直線的方程為.與橢圓方程聯(lián)立,由

可求.

（Ⅱ）當(dāng)與軸垂直時(shí)，兩點(diǎn)與,兩點(diǎn)重合，由橢圓的對(duì)稱性，.

當(dāng)不與軸垂直時(shí)，

設(shè)，，的方程為（）.

由消去，整理得.

則，.

由已知，，

則直線的方程為，令，得點(diǎn)的縱坐標(biāo).把代入得.

由已知，，則直線的方程為,令，得點(diǎn)的縱坐標(biāo).把代入得.

把，代入到中，

=.

即，即..