Question

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，（）.

（1）計(jì)算，，，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列滿足，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（3）由數(shù)列的項(xiàng)組成一個(gè)新數(shù)列：，，，，，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，試求的值.

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析，；（2）；（3）1

【解析】

（1）通過(guò)計(jì)算出前幾項(xiàng)的值，猜想通項(xiàng)公式，進(jìn)而利用數(shù)學(xué)歸納法證明；

（2）通過(guò)與作差，進(jìn)而計(jì)算即得結(jié)論；

（3）通過(guò)（2），利用分組法求和，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

（1）解：當(dāng)時(shí)，由，得；

由，得；

當(dāng)時(shí)，由，得；

當(dāng)時(shí)，由，得；

猜想：．

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)時(shí)， ，結(jié)論顯然成立；

②假設(shè)當(dāng)時(shí)，，

由條件知，

故

＝

＝，

于是，

從而，

故數(shù)列的通項(xiàng)公式為：；

（2）證明：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由條件得

＝

從而，

故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；

（3）解：由題意，得

故

，

從而.