Question

設函數f（x）=-x³+2x²-x+2．
（1）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）若對任意的x₁，x₂∈[0，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤M恒成立，求M的最小題．

Answer 1

分析：（1）求出函數f（x）的導數，通過討論導數的正負，令導數大于零得出函數的單調增區(qū)間，令導數小于零得出函數的單調減區(qū)間；
（2）原問題可化為函數f（x）在區(qū)間[0，1]上的最大值與最小值的差小于或等于M，由（1）的結論，列出函數f（x）在區(qū)間[0，1]上的單調性的表格，求出其最小值為f(

1

3

)=

50

27

，最大值為f（0）=f（1）=2，故M≥|2-

50

27

|=

4

27

，故M的最小值為

4

27

．

解答：解：（1）f′(x)=-3x2+4x-1．由f/(x)＞0得

1

3

＜x＜1，
由f′(x)＜0得x＜

1

3

或x＞1．
故函數f（x）的單調增區(qū)間是（

1

3

，1），單調遞減區(qū)間是（-∞，

1

3

），（1，+∞）．（7分）
（2）根據（1）的討論列下表：

x	0	（0， 1 3 ）	1 3	( 1 3 ，1)	1
f/（x）		-	0	+
f（x）	2		極小值 50 27		2

由此可知，函數f（x）在區(qū)間[0，1]的最小值為f(

1

3

)=

50

27

，最大值為f（0）=f（1）=2．
對任意的x1，x2∈[0，1]，|f(x1)-f(x2)|≤|f(x)max-f(x)min|=

4

27

，
故對任意的x₁，x₂∈[0，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤M恒成立，則M的最小值為

4

27

．（13分）

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，求函數在閉區(qū)間上的最大值和最小值，屬于中檔題．