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求證：2＜（1+
1
n
）n＜3（n≥2，n∈N*）．
證明：（1+
1
n
）n=Cn0+Cn1×
1
n
+Cn2（
1
n
）2+…+Cnn（
1
n
）n
=1+1+Cn2×
1
n2
+Cn3×
1
n3
+…+Cnn×
1
nn

=2+
1
2!
×
n(n-1)
n2
+
1
3!
×
n(n-1)(n-2)
n3
+…+
1
n!
×
n×(n-1)××2×1
nn

＜2+
1
2!
+
1
3!
+
1
4!
+…+
1
n!
＜2+
1
2
+
1
22
+
1
23
+…+
1
2n-1

=2+
1
2
[1-(
1
2
)n-1]
1-
1
2
=3-（
1
2
）n-1＜3．
顯然（1+
1
n
）n=1+1+Cn2×
1
n2
+Cn3×
1
n3
+…+Cnn×
1
nn
＞2．
所以2＜（1+
1
n
）n＜3．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）求證：Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n•2n-1 （n∈N*）
（2）設n是滿足Cn0+2Cn1+3Cn2+…+（n+1）•Cnn＜1000的最大正整數(shù)，求97n除以99的余數(shù)．
（3）當n∈N*且n＞1時，求證2＜（1+
1n
）n＜3．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•崇明縣二模）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足2+2Sn=3an（n∈N*）．數(shù)列bn=
1               n=1
an-1
n
        n≥2
．
（1）求證：數(shù)列{an}為等比數(shù)列；
（2）若對于任意n∈N*，不等式bn≥（n+1）λ恒成立，求實數(shù)λ的最大值；
（3）對于數(shù)列{bn}中值為整數(shù)的項，按照原數(shù)列中前后順序排列得到新的數(shù)列{cn}，求數(shù)列{cn}的通項公式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2008•虹口區(qū)二模）已知數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=2（
n+1n
）2an
（1）求數(shù)列{an}的通項公式
（2）設bn=（An2+Bn+C）•2n，是否存在常數(shù)A、B、C，使對一切n∈N*，均有an=bn+1-bn成立？若存在，求出常數(shù)A、B、C的值，若不存在，說明理由
（3）求證：a1+a2+…+an≤（n2-2n+2）•2n，（ n∈N*）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

求證：2＜（1+
1n
）n＜3（n≥2，n∈N*）．

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