Question

已知函數f（x）=e^x+tx（e為自然對數的底數）．
（Ⅰ）當t=-e時，求函數f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若對于任意x∈（0，2]，不等式f（x）＞0恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把t=-e代入函數解析式，求導后由導函數大于0求解x的取值范圍，得到原函數的增區(qū)間，由導函數小于0，得到原函數的減區(qū)間；
（Ⅱ）把函數解析式代入f（x）＞0，分離變量t后得到t＞-

ex

x

在x∈（0，2]上恒成立，利用導數求函數g（x）=-

ex

x

的最大值，則數t的取值范圍可求．

解答：解：（Ⅰ）當t=-e時，f（x）=e^x-ex，f'（x）=e^x-e．
由f'（x）=e^x-e＞0，解得x＞1；f'（x）=e^x-e＜0，解得x＜1．
∴函數f（x）的單調遞增區(qū)間是（1，+∞）；單調遞減區(qū)間是（-∞，1）．  
（Ⅱ）依題意：對于任意x∈（0，2]，不等式f（x）＞0恒成立，
即e^x+tx＞0恒成立，即t＞-

ex

x

在x∈（0，2]上恒成立．
令g(x)=-

ex

x

，∴g′(x)=

(1-x)ex

x2

．
當0＜x＜1時，g'（x）＞0；當1＜x＜2時，g'（x）＜0．
∴函數g（x）在（0，1）上單調遞增；在（1，2）上單調遞減．
所以函數g（x）在x=1處取得極大值g（1）=-e，即為在x∈（0，2]上的最大值．
∴實數t的取值范圍是（-e，+∞）．       
所以對于任意x∈（0，2]，不等式f（x）＞0恒成立的實數t的取值范圍是（-e，+∞）．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性，函數的導函數在某一區(qū)間上大于0，原函數是增函數，導函數小于0，原函數是減函數，考查了利用導數求函數在閉區(qū)間上的最值，考查了分離變量法，是中檔題．