Question

銷(xiāo)售甲、乙兩種商品所得利潤(rùn)分別為P萬(wàn)元、Q萬(wàn)元，它們與投入資金t萬(wàn)元的關(guān)系有經(jīng)驗(yàn)公式P=

1

5

t，Q=

3

5

t

，今將3萬(wàn)元資金投入經(jīng)營(yíng)甲、乙兩種商品，其中對(duì)甲種商品投入x萬(wàn)元，①當(dāng)x=2時(shí)，總利潤(rùn)y等于多少？②試建立總利潤(rùn)y萬(wàn)元關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．③如何分配投資比例，才能使總利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？

Answer 1

分析：（1）x=2時(shí)，P函數(shù)中的t值為2，Q函數(shù)的t值應(yīng)為3-2=1，分別求得P和Q的值，從而得出當(dāng)x=2時(shí)，總利潤(rùn)y等于多少；
（2）當(dāng)自變量取x時(shí)，P函數(shù)中的t值為，Q函數(shù)的t值應(yīng)為3-x，分別求得P和Q的值，從而得出當(dāng)自變量取x時(shí)，總利潤(rùn)y萬(wàn)元關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；
（3）對(duì)于（2）中的函數(shù)解析式，利用換元法轉(zhuǎn)化成一個(gè)二次函數(shù)的形式，最后結(jié)合二次函數(shù)的最值求法得出函數(shù)的最大值，從而解決問(wèn)題．

解答：解：（1）x=2時(shí)，P=

1

5

×2=

2

5

，Q=

3

5

×

3-2

=

3

5

，
∴y=P+Q=1（萬(wàn)元）
(2)y=

1

5

x+

3

5

3-x

(0≤x≤3)
(3)令

3-x

=t，(0≤t≤

3

)
y=

1

5

(3-t2)+

3

5

t=-

1

5

(t-

3

2

)2+

21

20

當(dāng)t=

3

2

即x=

3

4

時(shí)ymax=

21

20

答：甲投入

3

4

萬(wàn)元乙投入

9

4

萬(wàn)元時(shí)收益最大，最大值為

21

20

萬(wàn)元

點(diǎn)評(píng)：解決實(shí)際問(wèn)題通常有四個(gè)步驟：
（1）閱讀理解，認(rèn)真審題；
（2）引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型；
（3）利用數(shù)學(xué)的方法，得到數(shù)學(xué)結(jié)果；
（4）轉(zhuǎn)譯成具體問(wèn)題作出解答，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．利用換元法構(gòu)造二次函數(shù)模型求解最值是關(guān)鍵．