Question

5．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{{9{{sin}^2}x}}+\frac{4}{{9{{cos}^2}x}}，x∈（{0，\frac{π}{2}}）$，且f（x）≥t恒成立．
（1）求實數(shù)t的最大值；
（2）當t取最大值時，求不等式|x+t|+|x-2|≥5的解集．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)1的替換，結合基本不等式的應用求出函數(shù)f（x）的最小值即可得到結論．
（2）根據(jù)絕對值的應用將不等式進行表示為分段函數(shù)形式，進行求解即可．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{1}{9si{n}^{2}x}$+$\frac{4}{9co{s}^{2}x}$=（$\frac{1}{9si{n}^{2}x}$+$\frac{4}{9co{s}^{2}x}$）（sin²x+cos²x）
=$\frac{1}{9}$（5+$\frac{4sin^2x}{cos^2x}$+$\frac{cos^2x}{sin^2x}$）≥$\frac{1}{9}$（5+2$\sqrt{\frac{4sin^2x}{cos^2x}•\frac{cos^2x}{sin^2x}}$）=$\frac{1}{9}$（5+2$\sqrt{4}$）=$\frac{1}{9}$（5+4）=1，
當且僅當$\frac{4sin^2x}{cos^2x}$=$\frac{cos^2x}{sin^2x}$，即$tanx=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$時等號成立，
若f（x）≥t恒成立，
∴t≤1，即t的最大值為1．
（2）由題$\left|{x+1}\right|+\left|{x-2}\right|=\left\{\begin{array}{l}1-2x，x＜-1\\ 3，-1≤x≤2\\ 2x-1，x＞2\end{array}\right.$，--------（5分）
則由|x+1|+|x-2|≥5得，
當x＜-1，得1-2x≥5得2x≤-4，即x≤-2，此時x≤-2，
當-1≤x≤2得3≥5，此時不等式不成立，
當x＞2時，得2x-1≥5，即x≥3，
綜上x≤-2或x≥3，
不等式的解集為（-∞，-2]∪[3，+∞）------（10分）

點評 本題主要考查不等式恒成立以及絕對值不等式的求解，根據(jù)基本不等式的解法利用1的代換進行求解是解決本題的關鍵．綜合考查絕對值不等式的解法．