Question

17．已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+1，g（x）=x-a，其中a＞0，x≠0．
（1）對任意x∈[1，2]，都有f（x）＞g（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）對任意x₁∈[-2，-1]，x₂∈[2，4]，都有f（x₁）＞g（x₂）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）存在x₁∈[-2，-1]，x₂∈[2，4]，使f（x₁）＞g（x₂）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）可以采用分離參數(shù)法，導數(shù)法研究恒成立問題；
（2）對任意x₁∈[-2，-1]，x₂∈[2，4]，都有f（x₁）＞g（x₂）恒成立，f（x₁）_min＞g（x₂）_max，分別根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出最值即可，
（3）存在x₁∈[-2，-1]，x₂∈[2，4]，使f（x₁）＞g（x₂）成，則f（x₁）_max＞g（x₂）_min，分別根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出最值即可．

解答 解：（1））∵x∈[1，2]，都有f（x）＞g（x）恒成立，∴x²-2ax+1＞x-a，
即a＜$\frac{{x}^{2}-x+1}{2x-1}$，
設(shè)h（x）=$\frac{{x}^{2}-x+1}{2x-1}$，
則h′（x）=$\frac{2{x}^{2}-2x-1}{（2x-1）^{2}}$，
令h′（x）=0，解得x=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，
當h′（x）＞0時，即1≤x＜$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，函數(shù)遞增，
當h′（x）＜0時，即$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$＜x≤2，函數(shù)遞減，
∴h（x）_min=h（$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴0＜a＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故a的取值范圍為（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
（2）f（x）=x²-2ax+1的對稱軸為x=a＞0，即f（x）在[-2，-1]單調(diào)遞減，f（x₁）_min=f（-1）=2+2a
當x₂∈[2，4]時g（x₂）為增函數(shù)，g（x₂）_max=g（4）=4-a，
∵對任意x₁∈[-2，-1]，x₂∈[2，4]，都有f（x₁）＞g（x₂）恒成立，
∴f（x₁）_min＞g（x₂）_max，
∴2+2a＞4-a，解得a＞$\frac{2}{3}$，
故a的取值范圍為（$\frac{2}{3}$，+∞），
（3）存在x₁∈[-2，-1]，x₂∈[2，4]，使f（x₁）＞g（x₂）成立，
∴f（x₁）_max＞g（x₂）_min，
∴5+4a＞2-a，
解得a＞-$\frac{3}{5}$，
即a＞0
故a的取值范圍為（0，+∞）．

點評 本題主要考查了函數(shù)的極值，以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，考查綜合利用數(shù)學知識分析問題、解決問題的能力．