Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+

1-a

x

-1（a∈R），當(dāng)a≤

1

2

時，討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：利用導(dǎo)數(shù)的運算法則得出f′（x），分a=0，a＜0，0＜a＜

1

2

，a=

1

2

討論起單調(diào)性．當(dāng)a=0時，容易得出單調(diào)性；當(dāng)a=

1

2

，a＜0，0＜a＜

1

2

時，分別解出f′（x）＞0與f′（x）＜0的區(qū)間即可得出單調(diào)區(qū)間．

解答：解：f′(x)=

1

x

-a-

1-a

x2

=-

ax2-x+1-a

x2

=-

[ax+(a-1)](x-1)

x2

（x＞0），
令g（x）=ax²-x+1-a，
①當(dāng)a=0時，g（x）=-x+1，當(dāng)x∈（0，1）時，g（x）＞0，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（1，+∞）時，g（x）＜0，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
②當(dāng)0＜a＜

1

2

時，由f′（x）=0，x₁=1，x₂=

1

a

-1．此時

1

a

-1＞1＞0，
列表如下：

由表格可知：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）和(

1

a

-1，+∞)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(1，

1

a

-1)上單調(diào)遞增；
③當(dāng)a=

1

2

時，x₁=x₂，此時f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減；
④當(dāng)a＜0時，由于

1

a

-1＜0，則函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
綜上：當(dāng)a≤0時，函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
當(dāng)a=

1

2

時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
當(dāng)0＜a＜

1

2

時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）和(

1

a

-1，+∞)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(1，

1

a

-1)上單調(diào)遞增．

點評：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、分類討論的思想方法等是解題的關(guān)鍵．