Question

x＞0，y＞0，且

2

x

+

1

y

=4，若x+2y≥m²-2m-6恒成立，則m范圍是

-2≤m≤4

．

Answer 1

分析：先把x+2y轉會為（x+2y）（

2

x

+

1

y

）×

1

4

展開后利用基本不等式求得其最小值，然后根據x+2y≥m²-2m-6求得m²-2m-6≤2，進而求得m的范圍．

解答：解：∵∴x+2y=（x+2y）（

2

x

+

1

y

）×

1

4

=

1

4

（4+4×

y

x

+

x

y

）≥

1

4

（4+2×2）=2，
當且僅當4×

y

x

=

x

y

時取等號，
∵x+2y≥m²-2m-6恒成立，
∴m²-2m-6≤2，求得-2≤m≤4，
故答案為：-2≤m≤4．

點評：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用、函數恒成立問題．考查了學生分析問題和解決問題的能力．