Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=|x-a|，a∈R．
（Ⅰ）若a=1，解不等式f（x）≥$\frac{1}{2}$（x+l）；
（Ⅱ）記函數(shù)g（x）=f（x）-|x-2|的值域?yàn)锳，若A⊆[1，3]，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將a=1代入f（x），通過討論x的范圍，解不等式，從而求出不等式的解集；（Ⅱ）通過討論a的范圍，結(jié)合集合的包含關(guān)系，求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）a=1時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-x，x＜1}\\{x-1，x≥1}\end{array}\right.$，
x＜1時(shí)，由f（x）≥$\frac{1}{2}$（x+1），有1-x≥$\frac{1}{2}$（x+1），解得：x≤$\frac{1}{3}$，
當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≥$\frac{1}{2}$（x+1），有x-1≥$\frac{1}{2}$（x-1），解得：x≥3，
綜上，不等式的解集是（-∞，$\frac{1}{3}$]∪[3，+∞）；
（Ⅱ）當(dāng)a＜2時(shí)，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a-2，x≤a}\\{2x-2-a，a＜x＜2}\\{2-a，x≥2}\end{array}\right.$，
g（x）的值域A=[a-2，2-a]，
由A⊆[-1，3]，得$\left\{\begin{array}{l}{a-2≥-1}\\{2-a≤3}\end{array}\right.$，解得：a≥1，又a＜2，故1≤a＜2，
當(dāng)a≥2時(shí)，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a-2，x≤2}\\{2x-2-a，2＜x＜a}\\{2-a，x≥a}\end{array}\right.$，g（x）的值域A=[2-a，a-2]，
由A⊆[-1，3]，得$\left\{\begin{array}{l}{2-a≥-1}\\{a-2≤3}\end{array}\right.$，解得：a≤3，又a≥2，故2≤a≤3，
綜上，所求a的范圍是[1，3]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問題，考查分類討論思想，是一道中檔題．