Question

11．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足S_n+2n=a_n．求證數(shù)列{a_n+2}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 由S_n+2n=2a_n可求出a₁的值，當(dāng)n≥2時(shí)S_n-1=2a_n-1-2（n-1），兩個(gè)式子相減化簡(jiǎn)后得到遞推公式，根據(jù)等比數(shù)列的定義證明數(shù)列{a_n+2}是等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出a_n．

解答 證明：由S_n+2n=2a_n得 S_n=2a_n-2n，
當(dāng)n∈N^*時(shí)，S_n=2a_n-2n，①
當(dāng)n=1時(shí)，S₁=2a₁-2，則a₁=2，
則當(dāng)n≥2，n∈N^*時(shí)，S_n-1=2a_n-1-2（n-1），②
①-②得，a_n=2a_n-2a_n-1-2，即a_n=2a_n-1+2，
所以a_n+2=2（a_n-1+2），則$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n-1}+2}$=2，
所以{a_n+2}是以a₁+2=4為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列．
則a_n+2=4•2^n-1，即a_n=2ⁿ⁺¹-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、定義，以及數(shù)列前n項(xiàng)和S_n與a_n的關(guān)系式的應(yīng)用，屬于中檔題．