Question

（1）求證：函數(shù)f（x）=x+是奇函數(shù)；
（2）已知函數(shù)g（x）=x+在區(qū)間（0，1）上是單調(diào)減函數(shù)，在區(qū)間（1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)；函數(shù)g（x）=x+在區(qū)間（0，2）上是單調(diào)減函數(shù)，在區(qū)間（2，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)；猜想出函數(shù)g（x）=x+，（b＞0），x∈（0，+∞）的單調(diào)區(qū)間；
（3）指出函數(shù)h（x）=x+，x∈（-∞，0）在什么時候取最大值，最大值是多少．

Answer 1

解：（1）函數(shù)的定義域為：{x|x≠0}，
任意x∈{x|x≠0}，則f（-x）=-x+，
∴函數(shù)f（x）=x+是奇函數(shù)；
（2）∵函數(shù)g（x）=x+在區(qū)間（0，1）上是單調(diào)減函數(shù)，在區(qū)間（1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，即：在區(qū)間（0，）上是單調(diào)減函數(shù)，在區(qū)間（，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)；
函數(shù)g（x）=x+在區(qū)間（0，2）上是單調(diào)減函數(shù)，在區(qū)間（2，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，即：在區(qū)間（0，）上是單調(diào)減函數(shù)，在區(qū)間（，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)；
∴猜測：函數(shù)g（x）=x+，（b＞0），x∈（0，+∞）的單調(diào)減區(qū)間為（0，b），單調(diào)增區(qū)間為（b，+∞）．
（3）由（2）可知，函數(shù)h（x）=x+，x∈（0，+∞）的單調(diào)減區(qū)間為（0，2），單調(diào)增區(qū)間為（2，+∞）．
又由（1）可知，函數(shù)h（x）為奇函數(shù)．所以函數(shù)h（x）在（-2，0）上為減函數(shù)，在（-∞，-2）上為增函數(shù)．
∴函數(shù)h（x）=x+，x∈（-∞，0）在x=-2時取得最大值，最大值為：h_max（x）=-4．
分析：本題考查的是函數(shù)數(shù)的性質(zhì)問題．在解答時：
（1）先求函數(shù)的定義域，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義即可獲得問題的解答；
（2）充分觀察已知兩函數(shù)的形式特點，明確a的位置與單調(diào)區(qū)間發(fā)生變化的聯(lián)系，即可進行猜測，進而獲得答案；
（3）利用（2）的猜測以及（1）中的結(jié)論，即可獲得函數(shù)h（x）=x+，x∈（-∞，0）時單調(diào)性的變化情況，進而即可獲得問題的解答．
點評：本題考查的是函數(shù)數(shù)的性質(zhì)問題．在解答的過程當中充分體現(xiàn)了函數(shù)奇偶性的知識、歸納猜測的思想以及利用單調(diào)性求最值的知識．值得同學(xué)們體會和反思．