Question

已知f（x）=ax³+x²+cx是定義在R上的函數(shù)，f（x）在[-1，0]和[4，5]上是減函數(shù)，在[0，2]上是增函數(shù)．
（I）求c的值；
（II）求a的取值范圍；
（III）在函數(shù)f（x）的圖象上是否存在一點M（x₀，y₀），使得曲線y=f（x）在點M處的切線的斜率為3，若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

（I）對函數(shù)f（x）=ax³+x²+cx求導數(shù)，得，f′（x）=3ax²+2x+c
∵f（x）在[-1，0]上是減函數(shù)，在[0，2]上是增函數(shù)
∴函數(shù)f（x）在x=0處有極小值，
∴f′（0）=0，即3a×0²+2×0+c=0
∴c=0
（II）∵f（x）=ax³+x²，∴f′（x）=3ax²+2x
令f′（x）=0，解得x1=0，x2=-

2

3a

∵f（x）在[0，2]上是增函數(shù)，在[4，5]上是減函數(shù)
即f′（x）在[0，2]上大于或等于零，在[4，5]上小于或等于零
∴x₂∈[2，4]
即

- 2 3a ≥2 - 2 3a ≤4

∴-6≤

1

a

≤-3
∴-

1

3

≤a≤-

1

6

（III）假設存在點M（x₀，y₀）使得曲線y=f（x）在點M處的切線的斜率為3，
則f′（x₀）=3，即3ax₀²+2x₀-3=0，其中△=4+36a
∵-

1

3

≤a≤-

1

6

∴-12≤36a≤-6
∴△＜0∴3ax₀²+2x₀-3=0無實數(shù)根
∴f′（x₀）=3不成立
∴不存在點M（x₀，y₀）使得曲線y=f（x）在點M處的切線的斜率為3．