Question

已知函數(shù)f(x)=(x≠-1),設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=1,a_n+1=f(a_n)，數(shù)列{b_n}滿足b_n=|a_n-3|,S_n=b₁+b₂+…+b_n(n∈N₊)

(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明b_n≤;

(2)求證：S_n＜.

Answer 1

證明：（1）當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=1+≥1,

因?yàn)閍₁=1,所以a_n≥1(n∈N ₊)

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式b_n≤：

①當(dāng)n=1時(shí)，b₁=-1,不等式成立.

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等式成立，即b_n≤,

那么b_k+1=|a_k+1-|=.

所以，當(dāng)n=k+1時(shí),不等式也成立.

由①②可知不等式對(duì)任意n∈N ₊都成立.

(2)由（1）知b_n≤，

所以S_n=b₁+b₂+…+b_n,

≤(-1)+=(-1)×

＜(-1)×.

故對(duì)任意n∈N ₊,S_n＜.