Question

10．在平面斜坐標(biāo)系xOy中，∠xOy=60°，平面上任意一點(diǎn)P關(guān)于斜坐標(biāo)系xOy的斜坐標(biāo)定義為：若$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{{e}_{1}}$+y$\overrightarrow{{e}_{2}}$$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2}$，其中向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$分別為斜坐標(biāo)軸x，y軸同方向的單位向量，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y）．
（1）若P點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，-2），則|$\overrightarrow{OP}$|$\sqrt{7}$；
（2）以O(shè)為圓心，2為半徑的圓在斜坐標(biāo)系下的方程為x²+y²+xy=4．

Answer 1

分析 （1）若P點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，-2），利用數(shù)量積得性質(zhì)可得|$\overrightarrow{OP}$|；
（2）以O(shè)為圓心，2為半徑的圓滿足|$\overrightarrow{OP}$|=1，利用數(shù)量積得性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{OP}=3\overrightarrow{e_1}-2\overrightarrow{e_2}$，
∴$|\overrightarrow{OP}{|^2}=9\overrightarrow e_1^2-2×3×2{\overrightarrow e_1}•{\overrightarrow e_2}+4\overrightarrow e_2^2$=$9-2×2×3|{\overrightarrow e_1}|•|{\overrightarrow e_2}|cos{60°}+4$=7，
故$|\overrightarrow{OP}|=\sqrt{7}$．
（2）∵$|\overrightarrow{OP}|=|x\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2}|=2$，∴$|\overrightarrow{OP}{|^2}={x^2}\overrightarrow e_1^2+2xy{\overrightarrow e_1}•{\overrightarrow e_2}+{y^2}\overrightarrow e_2^2=4$，
即${x^2}+2xy|{\overrightarrow e_1}|•|{\overrightarrow e_2}|cos{60°}+{y^2}=4$，化簡得x²+y²+xy=4．
故答案為：（1）$\sqrt{7}$； （2）x²+y²+xy=4．

點(diǎn)評 正確理解斜坐標(biāo)系定義和掌握數(shù)量積得運(yùn)算公式是解題的關(guān)鍵．