Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a₂=2，，數(shù)列{b_n}滿足b₁=2，a_nb_n+1=2a_n+1b_n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n； 
（Ⅱ）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；并求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

【答案】分析：（I）由，可得數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求
（II）由（I）急哦nb_n+1=2（n+1）b_n可得，，即{}是以2為首項(xiàng)以2為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求，，進(jìn)而可求b_n
解答：（I）解：∵，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列
又∵a₁=1，a₂=2，
∴d=1，a_n=1+（n-1）×1=n
（II）證明：a_n=n
∵a_nb_n+1=2a_n+1b_n．
∴nb_n+1=2（n+1）b_n
∴，
∴{}是以2為首項(xiàng)以2為公比的等比數(shù)列
由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，=2ⁿ
∴
點(diǎn)評：本題主要考查等差數(shù)列的證明，等比數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，等比通項(xiàng)公式的求法，考查計(jì)算能力，邏輯推理能力．