Question

3．已知一家公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為6萬元，每生產(chǎn)1千件需另投入2.9萬元．設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為g（x）萬元，且g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{8+\frac{{2}^{x}}{64x}，1≤x≤8}\\{11-\frac{1}{30}{x}^{2}，x＞8}\end{array}\right.$．
（1）寫出年利潤f（x）（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千件）的函數(shù)解析式；
（2）求該公司生產(chǎn)這一產(chǎn)品的最大利潤及相應(yīng)的年產(chǎn)量．（年利潤=年銷售收入-年總成本）

Answer 1

分析 （1）通過討論x的范圍，分別求出f（x）的解析式即可；
（2）通過討論x的范圍，求出各個區(qū)間上的函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值即可．

解答 解：（1）當(dāng)1≤x≤8時，f（x））=x（8+$\frac{{2}^{x}}{64x}$）-（6+2.9x）=$\frac{{2}^{x}}{64}$+5.1x-6，
當(dāng)x＞8時，f（x）=xg（x）-（6+2.9x）=8.1x-$\frac{{x}^{3}}{30}$-6，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{2}^{x}}{64}+5.1x-6，1≤x≤8}\\{8.1x-\frac{{x}^{3}}{30}-6，x＞8}\end{array}\right.$；
（2）當(dāng)1≤x≤8時，f（x）=$\frac{{2}^{x}}{64}$+5.1x-6為增函數(shù)，
此時，f（x）_max=f（8）=4+5.1×8-6=38.8，
當(dāng)x＞8時，由f′（x）=8.1-$\frac{{x}^{2}}{10}$=0，解得：x=9，
x∈（8，9）時，f′（x）＞0，f（x）遞增，
x∈（9，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）遞減，
此時，f（x）_max=f（9）=8.1×9-$\frac{1}{30}$×9³-6=42.6，
38.8＜42.6，因此x=9時，f（x）取得最大值為42.6萬元，
故當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時，該公式在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中獲得最大年利潤42.6萬元．

點評 本題考查了求函數(shù)的解析式問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，是一道中檔題．