Question

平面上動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F(1，0)的距離比點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離大1，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.

Answer 1

思路分析：本題考查拋物線定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用.根據(jù)題意，到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離有某一關(guān)系，可以考慮其軌跡方程為拋物線.

解法一：設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，則有

=|x|+1.

兩邊平方并化簡(jiǎn)得y²=2x+2|x|，∴y²=,

即點(diǎn)P的軌跡方程為y²=4x(x≥0)或y=0(x＜0).

解法二：由題意，動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F(1，0)的距離比到y(tǒng)軸的距離大1，由于點(diǎn)F(1，0)到y(tǒng)軸的距離為1，故當(dāng)x＜0時(shí)，直線y=0上的點(diǎn)適合條件；

當(dāng)x≥0時(shí)，原命題等價(jià)于點(diǎn)P到點(diǎn)F(1，0)與到直線x=-1的距離相等，故點(diǎn)P的軌跡是以F為焦點(diǎn)，x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，方程為y²=4x.

故所求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為y²=4x(x≥0)或y=0(x＜0).

    方法歸納 求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程時(shí)，可用定義法列等量關(guān)系,化簡(jiǎn)求解；也可判斷后，用類似于公式法的待定系數(shù)法求解，但要判斷準(zhǔn)確，注意挖掘題目中的隱含條件，防止重解或漏解.