Question

過橢圓

x2

16

+

y2

9

=1內(nèi)的點(diǎn)P（1，2）作兩條互相垂直的弦AB，CD，若弦AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N，則直線MN恒過定點(diǎn)，定點(diǎn)的坐標(biāo)為______．

Answer 1

設(shè)直線AB的方程為y-2=k（x-1），與橢圓消去y得
（9+16k²）x²-32k（k-2）x+16（k-2）²-144=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點(diǎn)為M（x_M，y_M）
∴x₁+x₂=

32k(k-2)

9+16k2

，可得x_M=

1

2

（x₁+x₂）=

16k(k-2)

9+16k2

代入直線AB方程，得y_M=

-9k+18

9+16k2

∴AB中點(diǎn)為M（

16k(k-2)

9+16k2

，

-9k+18

9+16k2

）
∵直線AB、CD互相垂直，∴用-

1

k

代替k，得CD中點(diǎn)為N（

16+32k

9k2+16

，

9k+18k2

9k2+16

）
因此，直線MN方程為

y- -9k+18 9+16k2

9k+18k2 9k2+16 - -9k+18 9+16k2

=

x- 16k(k-2) 9+16k2

16+32k 9k2+16 - 16k(k-2) 9+16k2

取k=1，得直線方程y-

9

25

=

9

32

(x+

16

25

)，記為l₁； 再k=-1，得直線方程y-

27

25

=

9

32

(x-

48

25

)，記為l₂．
∵隨著直線AB、CD運(yùn)動(dòng)，直線MN恒過定點(diǎn)
∴直線l₁與l₂的交點(diǎn)即為MN恒過的定點(diǎn)，聯(lián)解

y- 9 25 = 9 32 (x+ 16 25 ) y- 27 25 = 9 32 (x- 48 25 )

，得

x= 16 25 y= 18 25

因此，直線MN恒過定點(diǎn)（

16

25

，

18

25

）
故答案為：（

16

25

，

18

25

）