Question

設(shè)函數(shù)f（x）=log_ax（a為常數(shù)且a＞0，a≠1），已知數(shù)列f（x₁），f（x₂），…，f（x_n），…是公差為2的等差數(shù)列，且．
（Ⅰ）求數(shù)列{x_n}的通項公式；
（Ⅱ）當時，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x₁），f（x₂），…，f（x_n），…是公差為2的等差數(shù)列，且，知f（x_n）=loga（a²）+2（n-1）=2n．由此能求出數(shù)列{x_n}的通項公式．
（2）由（1）和a=得，x₁+x₂+…+x_n=（）²+（）⁴+…+（）²ⁿ=．由此能夠證明當時，．
解答：解：（1）∵f（x₁），f（x₂），…，f（x_n），…是公差為2的等差數(shù)列，
且，
∴f（x_n）=loga（a²）+2（n-1）=2n．
∵f（x_n）=loga（x_n）=2n，
∴x_n=a²ⁿ．
（2）由（1）和a=得，
x₁+x₂+…+x_n
=（）²+（）⁴+…+（）²ⁿ
=
=．
∵，
∴＜．
故當時，．
點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．