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如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是邊長為4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5.

（Ⅰ）求證：AA1⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；
（Ⅲ）證明：在線段BC1存在點D，使得AD⊥A1B，并求的值.
（Ⅰ）見解析（Ⅱ）（Ⅲ）
把平面與平面垂直轉(zhuǎn)化為直線和平面垂直.要證直線和平面垂直，依據(jù)相關(guān)判定定理轉(zhuǎn)化為證明直線和直線垂直.求二面角，往往利用“作——證——求”的思路完成，作二面角是常常利用直線和平面垂直.第（Ⅲ）題，求解有難度，可以空間向量完成.
（Ⅰ）因為為正方形，所以.
因為平面ABC⊥平面AA1C1C，，且平面ABC平面AA1C1C，
所以⊥平面ABC.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，⊥AC, ⊥AB.
由題意知，所以.
如圖，以A為原點建立空間直角坐標系,則.
設(shè)平面的法向量為，則即
令，則，所以.
同理可得，平面的法向量為.
所以.
由題知二面角A1-BC1-B1為銳角，所以二面角A1-BC1-B1的余弦值為.

（Ⅲ）設(shè)是直線上的一點，且.
所以，解得，所以.
由，即，解得.
因為，所以在線段上存在點D，使得，此時.
【考點定位】本題考查了平面與平面垂直的性質(zhì)定理，直線和平面垂直的判定定理，考查了法向量、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用和二面角的求法，考查了空間想象能力和推理論證能力.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

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如圖，菱形的邊長為4，，.將菱形沿對角線折起，得到三棱錐，點是棱的中點，.

（1）求證：平面；
（2）求證：平面平面；
（3）求二面角的余弦值.

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如圖，在四棱柱

（1）當正視方向與向量的方向相同時，畫出四棱錐的正視圖（要求標出尺寸，并寫出演算過程）；
（2）若M為PA的中點，求證：求二面角
（3）求三棱錐的體積.

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設(shè)、是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面，給出下列結(jié)論：
①∥， ⇒∥；
②∥，∥，⇒∥；
③＝，∥，∥⇒∥；
④∥， ⇒∥.
其中正確的有(　　)
A．1個B．2個 C．3個 D．4個

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知三棱錐的側(cè)棱兩兩垂直，且，，是的中點．

（1）求異面直線與所成的角的余弦值
（2）求二面角的余弦值
（3）點到面的距離

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在等腰梯形中，，，，是的中點．將梯形繞旋轉(zhuǎn)，得到梯形（如圖）．

（1）求證：平面；
（2）求證：平面；
（3）求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，  AB//CD，∠DAB=90°，PA=AD=DC=1，AB=2，M為PB的中點．

（I）證明：MC//平面PAD；
（II）求直線MC與平面PAC所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖,在四棱錐中，底面是正方形, ,分別為的中點,且.

（1）求證: ;
（2）求異面直線所成的角的余弦值

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

平面和直線，給出條件：①；②；③；④；⑤.為使，應(yīng)選擇下面四個選項中的條件（   ）
A．①⑤B．①④C．②⑤D．③⑤

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