Question

18．設(shè)不等式組$\left\{{\begin{array}{l}{0≤x≤2}\\{0≤y≤2}\end{array}}\right.$表示的平面區(qū)域?yàn)镈，在區(qū)域D內(nèi)隨即取一點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離小于或等于2的概率是$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)P，則P點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離小于2時(shí)，點(diǎn)P位于圖中正方形OABC內(nèi)，且在扇形OAC的內(nèi)部，如圖中的扇形部分．因此算出圖中扇形部分面積，再除以正方形OABC面積，即得本題的概率．

解答 解：到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離小于2的點(diǎn)，位于以原點(diǎn)O為圓心、半徑為2的圓內(nèi)，
區(qū)域D：不等式組$\left\{{\begin{array}{l}{0≤x≤2}\\{0≤y≤2}\end{array}}\right.$表示正方形OABC，（如圖）
其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（2，0），B（2，2），C（0，2）．
因此在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)P，
則P點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2時(shí)，點(diǎn)P位于圖中正方形OABC內(nèi)，
且在扇形OAC的內(nèi)部，如圖中的扇形部分
∵S_{正方形OABC}=2²=4，S_扇形=$\frac{1}{4}$π•2²=π
∴所求概率為P=$\frac{{S}_{扇形}}{{{S}_{正方形OABC}}_{\;}}$=$\frac{π}{4}$．
故答案為：$\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題給出不等式組表示的平面區(qū)域，求在區(qū)域內(nèi)投點(diǎn)使該到原點(diǎn)距離小于2的概率，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和幾何概型等知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．