Question

已知正項數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=

1

2

，且滿足2S_n+1=4S_n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）當(dāng)1≤i≤n，1≤j≤n（i，j，n均為正整數(shù)）時，求a_i和a_j的所有可能的乘積a_ia_j之和．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：綜合題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）由2S_n+1=4S_n+1，再寫一式，兩式相減，確定數(shù)列{a_n}是首項為

1

2

，公比為2的等比數(shù)列，即可求出a_n．
（Ⅱ）由a_i和a_j的所有可能乘積a_i•a_j=2^i+j（1≤i≤j≤n）可構(gòu)成下表：2^1+1-4，2^1+2-4，2^1+3-4，…，2^1+n-4，2^2+1-4，2^2+2-4，…，2^2+n-4，2^n+1-4，2^n+2-4，2ⁿ⁺³，…，2^n+n-4，即可求a_i和a_j的所有可能的乘積a_ia_j之和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵2Sn+1=4Sn+1 (n∈N*)，∴2Sn=4Sn-1+1 (n≥2，n∈N*)，（1分）
兩式相減得a_n+1=2a_n，∴

an+1

an

=2(n≥2，n∈N*)，（2分）
由2S₂=4S₁+1得2（a₁+a₂）=4a₁+1，又a1=

1

2

，∴a2=1，

a   2

a1

=2．（3分）
∴數(shù)列{a_n}是首項為

1

2

，公比為2的等比數(shù)列，
∴an=2n-2．（5分）
（Ⅱ）由a_i和a_j的所有可能乘積ai•aj=2i+j-4（1≤i≤n，1≤j≤n）      （6分）
可構(gòu)成下表：2^1+1-4，2^1+2-4，2^1+3-4，…，2^1+n-4，2^2+1-4，2^2+2-4，…，2^2+n-4，2^n+1-4，2^n+2-4，2ⁿ⁺³，…，2^n+n-4，（8分）
設(shè)上表第一行的和為T₁，則T1=

1 4 (1-2n)

1-2

=

1

4

(2n-1)（10分）
于是Tn=T1(1+2+22+…+2^n-1）=

1

4

(2n-1)

1-2n

1-2

=

1

4

(2n-1)2（12分）

點評：考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、不等式的證明、數(shù)列的求和等知識，考查推理論證能力和運算求解能力和化歸轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想．