Question

20．設(shè)$\overrightarrow{{e}_{1}}$、$\overrightarrow{{e}_{2}}$是兩個(gè)不共線的向量，已知向量$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+sinα$\overrightarrow{{e}_{2}}$（-$\frac{π}{2}$＜α＜$\frac{π}{2}$），$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\frac{5}{4}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{CD}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$，若A、B、D三點(diǎn)共線，則函數(shù)f（x）=2cos（x+α）在[0，π）上的值域?yàn)椋ā　。?table class="qanwser">A．[-1，$\frac{1}{2}$]B．[-2，$\sqrt{3}$]C．（-2，1]D．（-1，$\sqrt{3}$]

Answer 1

分析 根據(jù)A，B，D三點(diǎn)共線便可得出$\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{BD}=k\overrightarrow{{e}_{1}}+\frac{k}{4}\overrightarrow{{e}_{2}}$，從而由平面向量基本定理即可得到$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{\frac{k}{4}=sinα}\end{array}\right.$，從而可求出sinα，根據(jù)α的范圍即可得出$α=\frac{π}{6}$，這樣即可得出$f（x）=2cos（x+\frac{π}{6}）$，可求得$x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}）$，結(jié)合余弦函數(shù)的圖象便可求出f（x）的最大、最小值，從而得出f（x）在[0，π）上的值域．

解答 解：A，B，D三點(diǎn)共線；
∴$\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{BD}$=$k（\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}）$=$k[（2\overrightarrow{{e}_{1}}-\overrightarrow{{e}_{2}}）-（\overrightarrow{{e}_{1}}-\frac{5}{4}\overrightarrow{{e}_{2}}）]$=$k\overrightarrow{{e}_{1}}+\frac{k}{4}\overrightarrow{{e}_{2}}$；
又$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{{e}_{1}}+sinα\overrightarrow{{e}_{2}}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{\frac{k}{4}=sinα}\end{array}\right.$；
∴$sinα=\frac{1}{2}$；
∵$-\frac{π}{2}＜α＜\frac{π}{2}$；
∴$α=\frac{π}{6}$；
∴$f（x）=2cos（x+\frac{π}{6}）$；
x∈[0，π），∴$x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}）$；
∴x=0時(shí)，f（x）取最大值$\sqrt{3}$，$x=\frac{5π}{6}$時(shí)，f（x）取最小值-2；
∴f（x）在[0，π）上的值域?yàn)?[-2，\sqrt{3}]$．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 考查共線向量基本定理，以及向量減法的幾何意義，向量的數(shù)乘運(yùn)算，平面向量基本定理，已知三角函數(shù)值求角，以及根據(jù)余弦函數(shù)的圖象求余弦函數(shù)在一區(qū)間上值域的方法．