Question

20．已知?jiǎng)訄AP過定點(diǎn)A（-3，0），且與圓B：（x-3）²+y²=64相切，點(diǎn)P的軌跡為曲線C．設(shè)Q為曲線C上（不在x軸上）的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A作OQ的平行線交曲線C于M，N兩點(diǎn)．
（1）求曲線C的方程；
（2）求△MNQ的面積S的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知條件推導(dǎo)出點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A（-3，0）和B（3，0）距離之和等于定圓B的半徑，由此能求出曲線C的方程；
（2）通過MN∥OQ，知S=S_△MNQ=S_△MNO=$\frac{1}{2}$|OA|•|y₁-y₂|=$\frac{3}{2}$|y₁-y₂|，由此利用均值不等式能求出最大值．

解答 解：（1）∵動(dòng)圓P過定點(diǎn)A（-3，0），且與圓B：（x-3）²+y²=64相切，
∴點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A（-3，0）和B（3，0）距離之和等于定圓B的半徑，
∴|PA|+|PB|=8，
∴點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，半長軸為4的橢圓，
∴曲線C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{7}$=1；
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₃，y₃），
∵Q不在x軸上，
∴設(shè)直線OQ：x=my，
∵過點(diǎn)A作OQ的平行線交曲線C于M，N兩點(diǎn)，
∴直線MN：x=my-3，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=my-3}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{7}=1}\end{array}\right.$，消去x、整理得：
（7m²+16）y²-42my-49=0，
∴y₁+y₂=$\frac{42m}{7{m}^{2}+16}$，y₁y₂=-$\frac{49}{7{m}^{2}+16}$，
∵M(jìn)N∥OQ，
∴S=S_△MNQ=S_△MNO=$\frac{1}{2}$|OA|•|y₁-y₂|=$\frac{3}{2}$|y₁-y₂|=$\frac{3}{2}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{3}{2}$•$\frac{56\sqrt{1+{m}^{2}}}{9+7（1+{m}^{2}）}$=$\frac{3×28\sqrt{1+{m}^{2}}}{9+7（1+{m}^{2}）}$=$\frac{3×28}{\frac{9}{\sqrt{1+{m}^{2}}}+7\sqrt{1+{m}^{2}}}$≤2$\sqrt{7}$，
當(dāng)且僅當(dāng)m²=$\frac{2}{7}$時(shí)取等號，
∴所求最大值為2$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評 本題是一道關(guān)于直線與圓錐曲線的綜合題，考查曲線方程的求法，考查最大值的求法，涉及韋達(dá)定理、三角形面積公式基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．