Question

4．已知向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow，\overrightarrow{c}$滿足：|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=2，$（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}）•（\overrightarrow{c}-\overrightarrow）=-1$，則|$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$|的最大值為$\sqrt{2}+\sqrt{3}$．•

Answer 1

分析 分別用有向線段$\overrightarrow{DA}，\overrightarrow{DB}，\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{DE}$表示向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow，\overrightarrow{c}，\overrightarrow{a}+\overrightarrow$，根據(jù)已知條件可知四邊形ADBE為菱形，從而分別以該菱形的對角線DE，BA所在直線為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)C（x，y），從而能求出向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的坐標(biāo)，并表示出$\overrightarrow{c}$的坐標(biāo)，從而根據(jù)$（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}）•（\overrightarrow{c}-\overrightarrow）=-1$即可得到x²+y²=2，所以y的范圍-2≤y≤2，從而根據(jù)$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$的坐標(biāo)即可表示出$|\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}|$，根據(jù)y的范圍即可求得$|\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}|$的最大值．

解答 解：如圖，作$\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{DB}=\overrightarrow，\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow$，并滿足$|\overrightarrow{DA}|=|\overrightarrow{DB}|=|\overrightarrow{DE}|=2$；
連接EA，EB，則四邊形ADBE為菱形；
∴DE⊥AB，且互相平分；
∴分別以DE，BA所在直線為x軸，y軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系；
則能求以下幾點坐標(biāo)：
A（0，$\sqrt{3}$），D（-1，0），B（0，-$\sqrt{3}$）；
設(shè)C（x，y），則：$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{DA}=（1，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow=\overrightarrow{DB}=（1，-\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{DC}=（x+1，y）$；
∴$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}=（x，y-\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{c}-\overrightarrow=（x，y+\sqrt{3}）$；
∵$（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}）•（\overrightarrow{c}-\overrightarrow）=-1$；
∴x²+y²-3=-1；
∴x²+y²=2；
∴$-\sqrt{2}≤y≤\sqrt{2}$；
∴$|\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}|=\sqrt{{x}^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{2-2\sqrt{3}y+3}$$≤\sqrt{2+2\sqrt{3}•\sqrt{2}+3}=\sqrt{2}+\sqrt{3}$，當(dāng)y=-$\sqrt{2}$時取“=”；
∴|$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$|的最大值為$\sqrt{2}+\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{2}+\sqrt{3}$．

點評 考查向量加法的平行四邊形法則，菱形的概念，建立平面直角坐標(biāo)系，通過向量坐標(biāo)解決向量問題的方法，能正確確定點的坐標(biāo)，以及數(shù)量積的坐標(biāo)運算，根據(jù)向量坐標(biāo)求向量長度，以及完全平方式的運用．