Question

如圖,P是正方形ABCD所在平面外一點,且PA⊥平面ABCD,AE⊥PD,EF∥CD,AM=EF.

(1)證明MF是異面直線AB與PC的公垂線;

(2)若PA=3AB,求直線AC與平面AEM所成角的正弦值.

Answer 1

(1)證明:∵EF∥CD,CD∥AM,

∴EF∥AM.

又AM=EF,

∴四邊形AEFM為平行四邊形.

∵PA⊥平面ABCD,

∴PA⊥AM.而AM⊥AD,

∴AM⊥平面PAD.從而AM⊥AE.

∴四邊形AEFM為矩形.

∴MF⊥AB于M.

又AE⊥PD,AE⊥EF,

∴AE⊥平面PDC.從而MF⊥平面PDC.

∴MF⊥PC于F,因此命題成立.

(2)解:如下圖,連結BD交AC于O,連結BE,過O作BE的垂線OH,垂足為H.

依題意,PD⊥平面AEM,

∴ED⊥BE.

又OH⊥BE,

∴OH∥DE.

因此OH⊥平面AEM.連結AH,則∠HAO是直線AC與平面AEM所成的角.

設AB=a,則PA=3a,AO=AC=,

由Rt△ADE∽Rt△PDA,得ED=,OH=ED=,

∴sin∠HAO=,

即AC與平面AEM所成角的正弦值為.