Question

三棱柱中ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱A₁A垂直于底面ABC，B₁C₁=A₁C₁，AC₁⊥A₁B，M，N分別為A₁B₁，AB中點(diǎn)，求證：
（1）平面AMC₁∥平面NB₁C；
（2）A₁B⊥AM。

Answer 1

證明：（1）∵M(jìn)，N分別為A₁B₁，AB中點(diǎn)，
∴，
∴B₁N∥AM，
又，
∴，
連接MN，在四邊形，
同理得，
，
∴平面B₁CN∥平面AMC₁；
（2）∵B₁C₁=A₁C₁，M為A₁B₁中點(diǎn)，
∴，
又三棱柱ABC-A₁B₁C₁側(cè)棱A₁A垂直于底面ABC，平面A₁AB₁B垂直于底面ABC交線AB，
∴，
∴，
又AC₁⊥A₁B，
∴，
，
∴A₁B⊥AM。