Question

4．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{4}{x-1}$，定義域?yàn)镈．
（Ⅰ）若D=（1，+∞），求函數(shù)的f（x）最小值；
（Ⅱ）若D=（-∞，1）∪（1，+∞）時(shí)，（x-1）f（x）＞mx恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）因?yàn)閤＞1，對函數(shù)的f（x）變形為積為定值的情況，利用基本不等式求最值；
（Ⅱ）將所求轉(zhuǎn)化為二次不等式x²-（m+1）x+4＞0恒成立的問題解答．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)D=（1，+∞），即x＞1，∴$\frac{4}{x-1}$＞0，x1＞0…（2分）
∴f（x）=x+$\frac{4}{x-1}$=x-1+$\frac{4}{x-1}$+1$≥2\sqrt{（x-1）\frac{4}{x-1}}$+1=5（當(dāng)且僅當(dāng)x=3取等號）
∴函數(shù)的f（x）最小值為5．…（6分）
（Ⅱ）D=（-∞，1）∪（1，+∞）時(shí)，（x-1）f（x）＞mx恒成立，化為x²-（m+1）x+4＞0恒成立，
當(dāng)△=（m+1）²-16＜0即-5＜m＜3時(shí)，x²-（m+1）x+4＞0恒成立…（10分）
當(dāng)△=（m+1）²-16=0即m=3或m=-5時(shí)，均不合題意
綜上所述，-5＜m＜3．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查了利用基本不等式求函數(shù)的最值以及二次函數(shù)恒成立問題；利用基本不等式時(shí)注意不等式成立的三個(gè)條件．