Question

11．已知函數(shù)f（x）=log₂$\frac{x}{1-x}$．
（1）求函數(shù)的定義域；
（2）若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，解不等式f（t）-f（2t-$\frac{1}{2}$）≤0．

Answer 1

分析 （1）解不等式$\frac{x}{1-x}＞0$即可．
（2）利用函數(shù)單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)化為不等式t≤2t-$\frac{1}{2}$，同時注意定義域即可．

解答 解：（1）由f（x）=log₂$\frac{x}{1-x}$得：$\frac{x}{1-x}＞0$，解得：0＜x＜1．
∴函數(shù)的定義域是（0，1）．
（2）∵f（t）-f（2t-$\frac{1}{2}$）≤0，
∴f（t）≤f（2t-$\frac{1}{2}$）．
∵函數(shù)f（x）在（0，1）內(nèi)是增函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{t≤2t-\frac{1}{2}}\\{0＜t＜1}\\{0＜2t-\frac{1}{2}＜1}\end{array}\right.$．解得$\frac{1}{2}≤t＜\frac{3}{4}$．
∴不等式f（t）-f（2t-$\frac{1}{2}$）≤0的解為$\frac{1}{2}≤t＜\frac{3}{4}$．

點評 本題考查了對數(shù)函數(shù)的定義域、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．