Question

空間內(nèi)5個(gè)平面最多可將空間分成______個(gè)部分．

Answer 1

首先：研究n條直線最多可將平面分割成多少個(gè)部分？（這n條直線中，任兩條不平行，任三條不交于同一點(diǎn)），設(shè)n條直線最多可將平面分割成 b_n個(gè)部分，那么當(dāng)n=1，2，3時(shí)，易知平面最多被分為2，4，7個(gè)部分．
當(dāng)n=k時(shí)，設(shè) 條直線將平面分成了 b_k個(gè)部分，接著當(dāng)添加上第k+1條直線時(shí)，這條直線與前 條直線相交有k個(gè)交點(diǎn)，這k個(gè)交點(diǎn)將第k條直線分割成n段，而每一段將它所在的區(qū)域一分為二，從而增加了k+1個(gè)區(qū)域，故得遞推關(guān)系式b_k+1=b_k+（k+1），即b_k+1-b_k=k+1．顯然當(dāng)k=1時(shí)，b₁=2，當(dāng)k=1，2，…（n-1）時(shí)，我們得到n-1個(gè)式子：b₂-b₁=2，b₃-b₂=3，b₄-b₃=4，…b_n-b_n-1=n
將這n-1個(gè)式子相加，得bn=

1

2

(n2+n+2)，即n條直線最多可將平面分割成

1

2

(n2+n+2)個(gè)部分．
我們來歸納一下解決這個(gè)問題的思路：從簡單情形入手，確定 b_k與 b_k+1的遞推關(guān)系，最后得出結(jié)論．
現(xiàn)在，我們回到原問題，用剛才的思路來解決空間的問題，設(shè)k個(gè)平面將空間分割成 a_k個(gè)部分，再添加上第k+1個(gè)平面，這個(gè)平面與前k個(gè)平面相交有k條交線，這k條交線，任意三條不共點(diǎn)，任意兩條不平行，因此這第k+1個(gè)平面就被這k條直線分割成 b_k個(gè)部分．
而這 b_k個(gè)部分平面中的每一個(gè)，都把它所通過的那一部分空間分割成兩個(gè)較小的空間．所以，添加上這第k+1個(gè)平面后就把原有的空間數(shù)增加了b_k 個(gè)部分．由此的遞推關(guān)系式
a_k+1=a_k+b_k，即a_k+1-a_k=b_k，當(dāng)k=1，2，…（n-1）時(shí)，我們得到n-1個(gè)式子：a₂-a₁=b₁，a₃-a₂=b₂，a₄-a₃=b₃，…a_n-a_n-1=b_n-1．
將這n-1個(gè)式子相加，得 a_n=a₁+（b₁+b₂+…+b_n-1），所以：an=[

1

2

(12+1+2)+

1

2

(22+2+2)+…+ 

1

2

(n²+n+2）]=2+

1

2

{[12+22+…+(n-1)2]+[(1+2+…+(n-1)]+2（n-1）}
=n+1+

1

2

[

1

6

(n-1)n(2n-1)

1

2

(n-1)n]=n+1+

1

6

(n-1)n(n+1)=

n3+5n+6

6

所以：n個(gè)平面最多可將平面分割成

n3+5n+6

6

個(gè)部分．當(dāng)n=5時(shí)，空間內(nèi)5個(gè)平面最多可將空間分成 26個(gè)部分．
故答案為：26．