Question

已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的倍，其上一點到右焦點的最短距離為．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若直線l：y=kx+b與圓O：相切，且交橢圓C于A、B兩點，求當△AOB的面積最大時直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)橢圓右焦點（c，0），則，由此能夠求出橢圓C的標準方程．
（2）由Q_y=kx+b與圓相切，知．由消y得（1+3k²）x²+6kbx+3（b²-1）=0．再由根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合題設(shè)條件進行求解．
解答：解：（1）設(shè)橢圓右焦點（c，0）
則
由（1）得a²=3b²代a²-b²=c²得c²=2b²
代（2）得∴
∴
（2）Q_y=kx+b與圓相切
∴
∴
由消y得（1+3k²）x²+6kbx+3（b²-1）=0
又△=12（3k²-b²+1）（3）
，
∴|AB|²=（1+k²）（x₁-x₂）²
=
==
=
=
當k=0時，|AB|²=3，
當k≠0時，
（當時“=”成立）
∴|AB|_max=2
∴
此時b²=1且（3）式△＞0
∴
點評：本題考查橢圓方程的求法和三角形面積最大值的計算，解題時要注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．