Question

13．下列四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是③
①函數(shù)y=x與函數(shù)y=a${\;}^{lo{g}_{a}x}$（a＞0，且a≠1）相同；
②若冪函數(shù)f（x）=x^α的圖象過(guò)點(diǎn)（3，$\sqrt{3}$），則f（x）是偶函數(shù)；
③函數(shù)y=log_a（x-1）+1（a＞1）的圖象必過(guò)定點(diǎn)（2，1）；
④函數(shù)f（x）=e^x+x-2的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是（-1，0）．

Answer 1

分析 由兩函數(shù)的定義域不同說(shuō)明①錯(cuò)誤；由題意求出α，說(shuō)明②錯(cuò)誤；由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合函數(shù)的圖象平移說(shuō)明③正確；由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理說(shuō)明④錯(cuò)誤．

解答 解：①函數(shù)y=x的定義域?yàn)镽，函數(shù)y=a${\;}^{lo{g}_{a}x}$（a＞0，且a≠1）的定義域?yàn)椋?，+∞），兩函數(shù)不是相同的函數(shù)，①錯(cuò)誤；
②若冪函數(shù)f（x）=x^α的圖象過(guò)點(diǎn)（3，$\sqrt{3}$），則$\sqrt{3}={3}^{α}$，$α=\frac{1}{2}$，f（x）=${x}^{\frac{1}{2}}$為非奇非偶函數(shù)，②錯(cuò)誤；
③∵y=log_ax（a＞1）的圖象過(guò)點(diǎn)（1，0），∴函數(shù)y=log_a（x-1）+1（a＞1）的圖象必過(guò)定點(diǎn)（2，1），③正確；
④∵f（1）•f（0）=（e-1）•（-1）＜0，函數(shù)f（x）=e^x+x-2的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是（0，1），④錯(cuò)誤．
故答案為：③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，是基礎(chǔ)題．