Question

1．若正四棱錐的側棱長為$\sqrt{3}$，側面與底面所成的角是45°，則該正四棱錐的體積是（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• D． $\frac{4\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 作出棱錐的高與斜高，得出側面與底面所成角的平面角，利用勾股定理列方程解出底面邊長，代入體積公式計算．

解答 解：過棱錐定點S作SE⊥AD，SO⊥平面ABCD，則E為AD的中點，O為正方形ABCD的中心．
連結OE，則∠SEO為側面SAD與底面ABCD所成角的平面角，即∠SEO=45°．
設正四棱錐的底面邊長為a，則AE=OE=SO=$\frac{a}{2}$，
∴SE=$\sqrt{2}EO$=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$．
在Rt△SAE中，∵SA²=AE²+SE²，
∴3=$\frac{{a}^{2}}{4}+\frac{{a}^{2}}{2}$，解得a=2．
∴SO=1，
∴棱錐的體積V=$\frac{1}{3}{S}_{正方形ABCD}•SO$=$\frac{1}{3}×{2}^{2}×1=\frac{4}{3}$．
故選B．

點評 本題考查了正棱錐的結構特征，體積計算，屬于基礎題．