Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，a₂=3，前n項(xiàng)的和為S_n，且S_n+1、S_n、S_n﹣1（n≥2）分別是直線l上的點(diǎn)A、B、C的橫坐標(biāo)，，設(shè)b₁=1，b_n+1=log₂（a_n+1）+b_n．
（1）判斷數(shù)列{a_n+1}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論．
（2）設(shè)，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，證明：T_n＜1．

Answer 1

（1）解：判斷數(shù)列{a_n+1}為等比數(shù)列，證明如下：
由題意S_n+1、S_n、S_n﹣1（n≥2）分別是直線l上的點(diǎn)A、B、C的橫坐標(biāo)，， 得
∴a_n+1+1=2（a_n+1）（n≥2），
又∵a₁=1，a₂=3
∴數(shù)列{a_n+1}是以a₁+1=2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列．
則a_n+1=2ⁿ
∴a_n=2ⁿ﹣1（n∈N*）
（2）證明：由a_n=2ⁿ﹣1及b_n+1=log₂（a_n+1）+b_n得b_n+1=b_n+n，
 ∴，
則=，
數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n為：
=．