Question

19．如圖，在四棱錐P一ABCD中，PC=AD=CD=$\frac{1}{2}$AB=2，AB∥DC，AD⊥CD，PC⊥平面ABCD．
（1）求證：BC⊥平面PAC；
（2）若M為線段PA的中點，且過C，D，M三點的平面與線段PB交于點N，確定點N的位置，說明理由；并求三棱錐N一AMC的體積．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理AC²+BC²=AB²證明BC⊥AC，由線面垂直PC⊥平面ABCD證明BC⊥PC，即可證明BC⊥平面PAC；
（2）點N是PB的中點，由線線平行得出M、N、C、D四點共面，點N為過C、D、M三點的平面與線段PB的交點；再由BC⊥平面PAC，N為PB的中點，求出點N到平面PAC的距離d，求出S_△ACM，即可計算V_{三棱錐N-AMC}．

解答 解：（1）證明：連接AC，在直角梯形ABCD中，
AC=$\sqrt{{AD}^{2}{+DC}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
BC=$\sqrt{{（AB-CD）}^{2}{+AD}^{2}}$=2$\sqrt{2}$
∴AC²+BC²=AB²，即BC⊥AC；
∵PC⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴BC⊥PC；
又AC∩PC=C，∴BC⊥平面PAC；
（2）點N是PB的中點，理由如下；
∵點M為PA的中點，點N為PB的中點，
∴MN∥AB，
又∵AB∥DC，∴MN∥CD，
∴M、N、C、D四點共面，
即點N為過C、D、M三點的平面與線段PB的交點；
∵BC⊥平面PAC，N為PB的中點，
∴點N到平面PAC的距離d=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{2}$；
如圖所示，
S_△ACM=$\frac{1}{2}$S_△PAC=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$•PC•AC=$\frac{1}{4}$×2×2$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$
∴V_{三棱錐N-AMC}=$\frac{1}{3}$S_△AMC•d=$\frac{1}{3}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了空間中的平行與垂直關(guān)系的應(yīng)用問題，也考查了三棱錐體積的計算問題，是綜合性題目．