Question

19．已知定義在R上的函數(shù)f（x）=$\frac{b-{2}^{x}}{{2}^{x}+a}$是奇函數(shù)．
（1）求a，b的值；
（2）判斷并證明f（x）在R上的單調(diào)性．
（3）若對任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（-k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用奇函數(shù)定義f（-x）=-f（x）中的特殊值f（0）=0求b的值，f（-1）=-f（1），求a的值；
（2）根據(jù)導數(shù)的正負得到函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）結合單調(diào)性和奇函數(shù)的性質(zhì)把不等式f（t²-2t）+f（-k）＜0轉化為關于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知識求出k的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（0）=0，∴b=1，
∵f（-1）=-f（1），∴$\frac{1-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+a}$=-$\frac{1-2}{2+a}$，∴a=1
（2）由（1）知f（x）=-1+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
∴f′（x）=$\frac{-{2}^{x}ln2}{（{2}^{x}+1）^{2}}$＜0
∴f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)
（3）f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)，f（x）是奇函數(shù)，
所以（t²-2t）+f（-k）＜0等價于t²-2t＞k．
即對一切t∈R有：t²-2t-k＞0，
從而判別式△=4+4k＜0．
∴k的取值范圍是k＜-1．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應用；同時考查一元二次不等式恒成立問題的解決策略，是一道綜合題．