Question

9．已知函數(shù)f（x）=x²+ax+3，若f（x）在區(qū)間[1，4]上為單調函數(shù)，則a的范圍是a≥-2或a≤-8；
變式為：已知函數(shù)f（x）=x²+ax+3．
①若y=f（x）在區(qū)間[1，4]有最大值10，則a的值為-$\frac{9}{4}$；
②若f（x）=0在區(qū)間[1，4]有兩個不相等的實根，則a的范圍為-4＜a＜-2$\sqrt{3}$；
③若f（x）=0在區(qū)間[1，4]有解，則a的范圍為-$\frac{19}{4}$≤a≤-2$\sqrt{3}$；
④若y=f（x）在區(qū)間[1，4]內存在x₀，使f（x₀）＞0，則a的范圍為a＞-$\frac{19}{4}$；
⑤若y=f（x）在區(qū)間[1，4]上恒為正數(shù)，則a的范圍為a＞-2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 求出對稱軸，討論對稱軸和區(qū)間的關系，由單調性得到a的不等式，即可得到所求范圍；
對于①，考慮端點處和頂點處的函數(shù)值最大，檢驗即可得到；對于②，考慮f（1），f（4），判別式大于0，對稱軸介于（1，4），解不等式組，即可得到所求范圍；對于③，由參數(shù)分離和分式函數(shù)的最值，即可得到所求范圍；對于④，可得f（1）＞0或f（4）＞0，解不等式即可得到；對于⑤，由參數(shù)分離和基本不等式即可得到所求范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=x²+ax+3的對稱軸為x=-$\frac{a}{2}$，
若區(qū)間[1，4]上為單調增函數(shù)，則-$\frac{a}{2}$≤1，解得a≥-2；
若區(qū)間[1，4]上為單調減函數(shù)，則-$\frac{a}{2}$≥4，解得a≤-8．
綜上可得a≥-2或a≤-8；
對于①，可能為f（1）=10，或f（4）=10，或f（-$\frac{a}{2}$）=10，
即有a=6或a=-$\frac{9}{4}$或a∈∅，
當a=6時，區(qū)間[1，4]在對稱軸x=-3的右邊，為增區(qū)間，f（4）最大，舍去；
當a=-$\frac{9}{4}$時，區(qū)間[1，4]包含對稱軸x=$\frac{9}{8}$，f（4）最大，成立．
即有a=-$\frac{9}{4}$；
對于②，由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=a+4＞0}\\{f（4）=4a+19＞0}\\{{a}^{2}-12＞0}\\{1＜-\frac{a}{2}＜4}\end{array}\right.$，解得-4＜a＜-2$\sqrt{3}$；
對于③，由題意可得-a=x+$\frac{3}{x}$在[1，4]有解，由x+$\frac{3}{x}$$≥2\sqrt{3}$，又1+3＜4+$\frac{3}{4}$，即有2$\sqrt{3}$≤-a≤$\frac{19}{4}$，
即有-$\frac{19}{4}$≤a≤-2$\sqrt{3}$；
對于④，由題意可得f（1）＞0或f（4＞0，解得a＞-$\frac{19}{4}$；
對于⑤，由題意可得-a＜x+$\frac{3}{x}$在[1，4]的最小值，由x+$\frac{3}{x}$$≥2\sqrt{3}$，當且僅當x=$\sqrt{3}$＞1，取得最小值，
即為-a＜2$\sqrt{3}$，解得a＞-2$\sqrt{3}$．
故答案為：a≥-2或a≤-8，a=-$\frac{9}{4}$，-4＜a＜-2$\sqrt{3}$，-$\frac{19}{4}$≤a≤-2$\sqrt{3}$，a＞-$\frac{19}{4}$，a＞-2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查二次函數(shù)的性質和運用，考查二次函數(shù)的值域和最值的求法，考查函數(shù)恒成立和存在問題，屬于中檔題和易錯題．