Question

過點（1，0）的直線與中心在原點，焦點在x軸上且率心率為

2

2

的橢圓C相交于A、B兩點，直線y=

1

2

x過線段AB中點，同時橢圓C上存在一點與右焦點關(guān)于直線l對稱，試求直線l與橢圓C的方程．

Answer 1

分析：本題是典型的求圓錐曲線方程的問題，將A、B兩點坐標代入圓錐曲線方程，兩式相減得關(guān)于直線AB斜率的等式，再利用對稱點所連線段被對稱軸垂直平分來列式求解．

解答：解：由e=

c

a

=

2

2

，得

a2-b2

a2

=

1

2

，從而a²=2b²，c=b
設橢圓方程為x²+2y²=2b²，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在橢圓上
則x₁²+2y₁²=2b²，x₂²+2y₂²=2b²，兩式相減得，（x₁²-x₂²）+2（y₁²-y₂²）=0，

y1-y2

x1-x2

=-

x1+x2

2(y1+y2)

設AB中點為（x₀，y₀），則k_AB=-

x0

2yo

，
又（x₀，y₀）在直線y=

1

2

x上，y₀=

1

2

x₀，
于是-

x0

2yo

=-1，k_AB=-1，則l的方程為y=-x+1．
右焦點（b，0）關(guān)于l的對稱點設為（x′，y′），則

y‘ x’-b =1 y′ 2 =- x′+b 2 +1

解得

x′=1 y′=1-b

由點（1，1-b）在橢圓上，得1+2（1-b）²=2b²，b²=

9

16

，a²=

9

8

∴所求橢圓C的方程為

8x2

9

+

16y2

9

=1，
l的方程為y=-x+1．

點評：本題利用對稱問題來考查用待定系數(shù)法求曲線方程的方法，設計新穎，基礎性強 待定系數(shù)法求曲線方程，如何處理直線與圓錐曲線問題，對稱問題，成為解決本題的關(guān)鍵．注意在設直線方程時要對直線斜率是否存在進行討論．