Question

12．已知球的內(nèi)接三棱錐D一ABC，△ABC中，AB⊥AC且AB=AC=2$\sqrt{2}$，DB=DC=4，二面角A-BC-D的大小為$\frac{3π}{4}$，若球內(nèi)一飛行物（忽略其大�。┛梢栽谇騼�(nèi)任意飛行，則落在三棱錐D-ABC內(nèi)的概率為（　�。�

• A． $\frac{3π}{13}$
• B． $\frac{8\sqrt{2}}{27π}$
• C． $\frac{8}{85π}$
• D． $\frac{9\sqrt{10}}{200π}$

Answer 1

分析 根據(jù)球內(nèi)接三棱錐D一ABC的長度關(guān)系，求出球的半徑以及三棱錐的體積，根據(jù)幾何概型的概率公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵球的內(nèi)接三棱錐D一ABC，△ABC中，AB⊥AC，
∴取BC的中點(diǎn)E，則E是截面△ABC對應(yīng)小圓的圓心，
設(shè)球心為0，則OE⊥面ABC，
設(shè)OE=h，球半徑為R，
則OA=OD=OB=R，
∵DB=DC=4，∴DE⊥BC，
∵AB=AC=2$\sqrt{2}$，∴AE⊥BC，
即∠AED是二面角A-BC-D的大小，
即∠AED=$\frac{3π}{4}$，則∠OED=$\frac{3π}{4}$-$\frac{π}{2}$=$\frac{π}{4}$，
∵△ABC中，AB⊥AC且AB=AC=2$\sqrt{2}$，∴AE=2，BC=4，
∵DB=DC=4，∴在正△BCD中，DE=2$\sqrt{3}$，
則OA²=OE²+AE²，
即R²=h²+4  ①
在△OED中，OD²=OE²+DE²-2OE•DEcos$\frac{π}{4}$，
即R²=h²+12-2h×2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=h²+12-2$\sqrt{6}$h，②
即4+h²=h²+12-2$\sqrt{6}$h，
∴h=$\frac{4}{\sqrt{6}}$，R=$\sqrt{（\frac{4}{\sqrt{6}}）^{2}+4}$=$\sqrt{\frac{40}{6}}$=$\frac{2\sqrt{15}}{3}$，
三棱錐D一ABC的高OF=DE•sin$\frac{π}{4}$=2$\sqrt{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{6}$，
則三棱錐D-ABC的體積V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}$×$\sqrt{6}$=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
球的體積V=$\frac{4}{3}π×$（$\frac{2\sqrt{15}}{3}$）³=$\frac{160\sqrt{15}}{27}$π，
則落在三棱錐D-ABC內(nèi)的概率為$\frac{\frac{4\sqrt{6}}{3}}{\frac{160\sqrt{15}π}{27}}$=$\frac{9\sqrt{10}}{200π}$，
故選：D

點(diǎn)評 本題主要考查幾何概型的概率的計(jì)算，根據(jù)球內(nèi)接三棱錐D一ABC的關(guān)系求出球的半徑和三棱錐的體積是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．